Matematyka

       Jakie najmniejsze pole powierzchni może mieć przykrywka, która pozwoli przykryć bardzo cienkiego robaka o długości jeden, niezależnie od tego, jak on się ułoży? Jak wybrać ścieżkę, która wyprowadzi nas najszybciej z lasu, którego kształt znamy, ale nie znamy swojego w nim położenia?
       Tak można sformułować dwa geometryczne problemy, które, mimo iż brzmią lekko, łatwo i przyjemnie, wcale nie są proste. Zostały postawione ponad 50 lat temu i do dziś nie doczekały się pełnego rozwiązania. 
        Podczas wykładu przedstawiona zostanie historia dążenia do rozwiązania problemów, przykładowe pokrywki, którymi można przykryć robaka, przykładowe kształty lasów, dla których wiadomo, jak szukać najkrótszej drogi do wyjścia. I zupełnie nietrywialne dowody niektórych z tych faktów...

Na co dzień jesteśmy przyzwyczajeni do ciągłości czasu i przestrzeni. Wiemy dobrze, że pomiędzy dwoma wybranymi chwilami czasu – choćby oddalonymi od siebie o ułamek sekundy - znajduje się nieskończenie wiele chwil pośrednich. Podobnie pomiędzy dwoma wybranymi punktami w przestrzeni – choćby nawet odległymi od siebie o ułamek grubości włosa - leży nieskończenie wiele innych punktów. Jednak możemy wyobrazić sobie zupełnie inny świat, świat dyskretny. W tym świecie każdy punkt ma ściśle określonych sąsiadów – i nie oddzielają go od nich żadne inne punkty. A zjawiska toczą się leniwie w rytm uderzeń metronomu, który wyznacza jedyne możliwe chwile czasowe. Automaty komórkowe wraz z ciągle ogromnie popularną, mimo upływu prawie pięćdziesięciu lat, grą w życie są chyba najbardziej znanym przykładem układów dyskretnych. Obserwacja ewolucji tych modeli, generowanych przez nie wzorków, może dostarczyć nam wielu wrażeń estetycznych. Czy jednak stanowią one jedynie tylko „zabawkę”, nieco kojarzącą się z grami komputerowymi?

Wcale nie! Zjawiska, które pojawiają się w tak uproszczonych, dyskretnych układach, mają swoje odpowiedniki w świecie rzeczywistym. Dlatego też układy dyskretne, o bardzo prostych regułach działania, od dawna służą nam do tłumaczenia całkiem skomplikowanych zjawisk, których jesteśmy często świadkami. Jak szybko następuje mieszanie wody w zbiorniku? Jak zmienia się kształt rozwiewanych wiatrem pustynnych wydm? W którą stronę i kiedy będzie rozbudowywać się miasto? Dlaczego wybory wygrała ta partia, a nie inna? Skąd się biorą epidemie, dlaczego wygasają i w jaki sposób trzeba przeprowadzić akcję szczepień ochronnych, aby im zapobiec? To tylko niektóre z pytań, na które odpowiedzi możemy znaleźć, przyglądając się układom dyskretnym.

Biało-czarny smok porwał do niewoli nieskończenie wielu rycerzy-matematyków. Na szczęście każdy z nich ma na hełmie białe lub czarne pióro, nikt jednak nie zna koloru pióra na swoim własnym hełmie. Smok wymyślił okrutną regułę — pożre wszystkich, którzy nie zgadną koloru swojego piórka. Na szczęście, prawie wszyscy rycerze-matematycy mogą ujść z życiem!... O ile... założymy, że prawdziwy jest bardzo naturalny aksjomat, zwany aksjomatem wyboru. Zastanowimy się, jakie jeszcze przedziwne ma on konsekwencje, rozmawiając o fantastycznych obiektach i zjawiskach ze świata matematyki — słowniku wszystkich słów oraz cudownym rozmnażaniu pomarańczy.

Na wykładzie przedstawione zostanie pojęcie arbitrażu, czyli sytuacji, gdy na rynku można mieć szansę zarobienia pieniędzy bez ponoszenia żadnego ryzyka. Pokazane zostanie, że brak takiej anomalii na rynku jest równoważny istnieniu nowego prawdopodobieństwa. Ponadto sluchacze dowiedzą się, dlaczego instytucje finansowe są tak chętne w zatrudnianiu matematyków.

Dociekania prowadzone w obrębie filozofii matematyki koncentrują się na dwóch typach zagadnień. Pierwszy typ dotyczy natury bytów matematycznych, drugi – charakteru poznania matematycznego. Obie kwestie były przedmiotem rozważań Ludwiga Wittgensteina. Zarysowana w Uwagach o logice i następnie rozwinięta w Traktacie logiczno-filozoficznym koncepcja logiki i matematyki jest zasadniczo odmienna od rozpowszechnionych w filozofii matematyki stanowisk. Wittgenstein nie jest logicystą, intuicjonistą czy formalistą. Odrzuca też istnienie jakiejś formy specyficznego doświadczenia logicznego. Na gruncie nakreślonej przez niego wizji „Tezy logiki opisują rusztowanie świata, albo raczej: przedstawiają je […]” (Traktat logiczno-filozoficzny, teza 6.124). Analogicznie sprawa wygląda w wypadku matematyki: „Logikę świata, którą tezy logiki pokazują w tautologiach, matematyka pokazuje w równaniach” (teza 6.22). Czym jest owa logika świata? W jaki sposób docieramy do niej poznawczo? Jak możemy ją przedstawić? Jakie są różnice między logiką i matematyką a naukami przyrodniczymi? Wykład ma na celu udzielenie odpowiedzi na te pytania.

Jak zawsze wygrywać w kasynie (pod warunkiem, że ma się dużo pieniędzy)? Co to jest dylemat więźnia? Czym się zajmuje matematyczna teoria gier? Jak nigdy nie przegrać w gry typu "przegrywa ten, który weźmie ostatni kamień"? Na te i inne pytania odpowiedzi poznają uczestnicy warsztatów.

Teoria gier zajmuje się matematycznym badaniem sytuacji konfliktowych, znajdywaniem optymalnych strategii, rozwiązywaniem dylematów społecznych. Wykład będzie elementarnym wprowadzeniem do teorii gier. Omówiona zostanie koncepcja równowagi Nasha w grach konkurencyjnych, wartość Shapleya w grach kooperacyjnych oraz algorytm Gale-Shapleya optymalnego parowania się ludzi ze względu na ich preferencje.

O niektórych ludziach mówimy: „O! To prawdziwy mózg matematyczny!” Czy „mózg matematyczny” to właściwość tylko niektórych wybrańców losu? Współczesne badania psychologiczne, jak i neuroobrazowe, prowadzone na ludziach i zwierzętach pokazują, że „mózg matematyczny” zaczął się kształtować we wczesnej ewolucji kręgowców, a jednocześnie u ludzi wykazuje zaskakującą ciągłość między przybliżonym spostrzeganiem liczebności zbiorów a symboliczną, zaawansowaną matematyką. Jednocześnie jednak wykształcenie przez człowieka językowych i kulturowych technik liczenia i zapisu liczb wprowadza zmiany w funkcjonowaniu „mózgu matematycznego” i dodaje do niego nowe struktury. Przedstawiając działanie mózgu matematycznego, omówimy podstawowe systemy przetwarzania informacji o liczbie, wspólne dla ludzi i zwierząt, ich mózgowe podstawy oraz jak uczenie się językowych systemów liczenia, a później zapisu liczb w postaci cyfr i innych symboli, zmienia funkcjonowanie mózgowych mechanizmów przetwarzania liczb. Będzie mowa o „neuronach liczbowych”, związkach umysłowych reprezentacji liczby i przestrzeni, o tym, jak spostrzegają i różnicują liczby ryby, kurczaki, szympansy, noworodki, niemowlęta i profesjonalni matematycy, a jak, i dlaczego z liczbami nie mogą sobie poradzić niektóre mózgi skądinąd inteligentnych ludzi.

Prezentacja nieznanych faktów z życia niezwykłych dokonań Hugona Steinhausa, "odkrywcy" Stefana Banacha, współtwórcy lwowskiej szkoły matematycznej, twórcy wrocławskiej szkoły teorii prawdopodobieństwa, człowieka o szerokich zainteresowaniach, obdarzonego wielkim poczuciem humoru, znanego z dowcipnych i ciętych wypowiedzi, wybitnego aforysty.

Muzykę w czasach antyku i średniowiecza zaliczano do nauk ścisłych. Takie przyporządkowanie może dziwić: zazwyczaj widzimy w niej sztukę wzbudzającą emocje, których nie da się sprowadzić do liczb. Czy bogactwo przeżyć, jakie oferuje nam muzyka, nie stoi zatem w sprzeczności ze światem rachunków, twierdzeń i dowodów? Bynajmniej! 

Do zaistnienia muzyki konieczny jest dźwięk, doskonale nadający się do matematycznego opisu. Fakt ten odnotowali myśliciele starożytnej Grecji. Pitagoras wraz ze swoimi uczniami sądził nawet, że harmonia między dźwiękami jest odbiciem harmonii panującej we Wszechświecie. Koncepcja ta, znana pod nazwą harmonii sfer, zyskała wielką popularność. Jej echa wybrzmiewały aż do końca renesansu. Dziś zapewne mało kto skłonny byłby doszukiwać się w muzyce odzwierciedlenia kosmicznych praw. Poglądy, podobnie jak praktyka muzyczna, szybko się zmieniają - niezmienne jednak pozostają prawa natury i ludzka ciekawość. Dlaczego niektóre zestawy dźwięków zdają się przyjemniejsze od innych? Z czym wiąże się brzmienie różnych instrumentów? Co sprawia, że zazwyczaj korzystamy z 12 nazw dźwięków? Dlaczego nie da się doskonale nastroić fortepianu? Krocząc za Pitagorasem, na te i inne nurtujące pytania postaramy się znaleźć odpowiedź podczas naszego spotkania.

Wystawa przedstawia jeden z najwspanialszych okresów w dziejach nauki polskiej, nazywany często złotą erą matematyki polskiej, czas istnienia i działalności polskiej szkoły matematycznej. Podstawowym żródłem materiałów wykorzystanych na wystawie są spuścizny matematyków w zbiorach  PAN Archiwum w Warszawie. Polska szkoła matematyczna pozostawiła po sobie blask sławy, a także ogrom wyników, które na stałe weszły do światowej matematyki.

Piękno modeli z kolorowego papieru, z których część zostanie własnoręcznie wykonana przez uczestników warsztatów, posłuży nam za inspirację do zgłębiania tajemnic geometrii trójwymiarowych brył.