„Paradoksy" nieskończoności a prawda matematyczna

Wyobraźmy sobie hotel w którym jest nieskończenie wiele (jednoosobowych) pokoi, ponumerowanych dodatnimi liczbami naturalnymi: 1,2,3, itd. i załóżmy, że wszystkie pokoje są zajęte. Taki hotel zwykło się z nie do końca jasnych powodów nazywać Hotelem Hilberta (wybitnego matematyka przełomu XIX i XX wieku). Czy nowego gościa, który zgłasza się do recepcji, trzeba odprawić z kwitkiem - tak jak należałoby zrobić, gdyby pokoi było np. 73? Okazuje się, że nie. Co więcej, jeśli do hotelu przybędzie nieskończenie wiele nowych gości, to o ile da się ich ponumerować liczbami naturalnymi, będziemy mogli zakwaterować ich wygodnie w pełnym już hotelu. Jest to możliwe dlatego, że zbiór X wszystkich gości (włączając nowo przybyłych) jest równoliczny ze zbiorem Y wszystkich pokoi hotelowych, tzn. że każdemu elementowi zbioru X (każdemu gościowi) można przypisać dokładnie jeden element zbioru Y (pokój) w taki sposób, że każdy element zbioru Y jest przypisany do dokładnie jednego elementu zbioru X. Pojęcie równoliczności, wprowadzone do matematyki przez Georga Cantora w latach siedemdziesiątych dziewiętnastego wieku, pozwala m.in. na porównywanie nieskończonych zbiorów ze względu na ich rozmiar (tzw. moc). W czasie spotkania dowiemy się, że nie wszystkie nieskończoności są sobie równe, oraz wyjaśnimy, dlaczego w hotelu Hilberta nie da się zakwaterować nowych gości, o ile ci są "ponumerowani" wszystkimi liczbami rzeczywistymi.