O obracaniu igły lub samurajskiego miecza, czyli o rozwiązaniu problemu Kakeyi

Japoński matematyk Soichi Kakeya postawił w 1917 roku następujące pytanie: jakie najmniejsze pole powierzchni może mieć obszar wypukły, wewnątrz którego można obrócić o 180 stopni odcinek jednostkowy? Odpowiedź na nie podał 3 lata później duński matematyk G. Pal. Na tym jednak historia się nie skończyła. Postawiono następne, nasuwające się pytanie: jak zmieni się odpowiedź, gdy nie będziemy wymagać, by zbiór był wypukły? Do znalezienia rozwiązania tego ogólniejszego problemu przyczyniło się kilku matematyków, a ostateczną, zaskakującą, odpowiedź podał w 1928 roku Bezikowicz. Okazuje się, że w tym przypadku może być to obszar o dowolnie małym polu. 
     Podczas wykładu opowiem o odpowiedzi podanej przez Pala w przypadku pierwszego pytania i przedstawię konstrukcję zbioru podanego przez Bezikowicza. Ponadto, jeśli czas pozwoli, sformułuję inne problemy związane z problemem Kakeyi.