Nauki matematyczne

Zgoda buduje, a niezgoda rujnuje... zupełnie dosłownie. Przeanalizujemy kilka prostych gier, w których gracze przekonują się, że próba wyśrubowania indywidualnego zysku prowadzi do strat całej społeczności i każdego z osobna. Okaże się, że wprowadzenie podatku może paradoksalnie wzbogacić podatników, zamknięcie drogi - zredukować korki, a wprowadzenie możliwości karania łamiących zasady społeczne - doprowadzić do spirali przemocy. Całość jest na tyle prosta, że pozwala brać udział już gimnazjalistom - starsi docenią natomiast klarowność matematycznego opisu za pomocą pojęć teorii gier.

Grafy są jednym z najprostszych obiektów matematycznych - poznajemy je już w szkole podstawowej. Niemniej lista ich zastosowań obejmuje wiele zagadnień, od informatyki poprzez nauki fizyczne i biologiczne do nauk społecznych, gdzie używane są m. in. do opisu sieci relacji międzyludzkich. Grafy, które pojawiają się w tych zastosowaniach, mogą zmieniać się w czasie, a ich struktura często zależy od czynników losowych. Właściwy opis losowości ma zatem istotne znaczenie dla zrozumienia zjawisk opisywanych przez graf. Podczas wykładu omówię podstawowe modele grafów losowych i ich zastosowania, koncentrując się na wpływie losowego mechanizmu tworzenia grafu na jego strukturę.

Współczesne metody diagnostyczne, zarówno oparte o rejestrację bioelektrycznej czynności neuronów kory mózgowej, jak również wykorzystujące bogactwo i mnogość różnych form obrazowania medycznego, pozwalają coraz lepiej poznawać funkcje ludzkiego mózgu oraz odkrywać jego tajemnice. W trakcie wykładu będzie można dowiedzieć się, jak matematyka i jej narzędzia przydatne są w odkrywaniu działania i funkcjonowania naszego mózgu oraz co matematyka ma wspólnego z kontrolowaniem mocy znanym z kultowej sagi filmowej "Gwiezdne Wojny".

W wykładzie przedstawię technikę rozwiązywania równań przez interpretacje kombinatoryczne. Technika ta polega na opowiedzeniu prostej historii, która opisuje (interpretuje) skomplikowane wyrażenie matematyczne. Opowiedzenie tej samej historii inaczej pozwala często na przedstawienie tego samego wyrażenia w inny, prostszy sposób. Za elementarny przykład może nam posłużyć pokazanie, że współczynnik dwumianowy  jest równy współczynnikowi . Ten pierwszy możemy zinterpretować następująco: Załóżmy, że mamy w hodowli n królików. Współczynnik  odpowiada zatem liczbie różnych wyborów n-k królików, które wezmą udział w testach nowego szamponu do włosów. Każdy taki wybór n-k królików odpowiada wyborowi k królików, które nie wezmą udziału w testach. Natychmiastowym wnioskiem jest zatem fakt, że liczba różnych wyborów n-k królików musi odpowiadać liczbie różnych wyborów k królików, a zatem oba współczynniki są równe!

W trakcie zajęć warsztatowych uczestnicy, przy pomocy prowadzących, będą mogli zapoznać się z działaniem wybranych narzędzi komputerowej analizy sygnałów bioelektrycznych mózgu (m.in. obejrzeć "interaktywną mapę mózgu", powstałą w wyniku komputerowej analizy sygnału EEG, podczas wykonywania różnych czynności, takich jak czytanie, poszukiwanie wzorców na obrazie itp.).

Wykład dedykowany jest uczniom, którzy nie mieli wcześniej styczności z Olimpiadą Matematyczną. Opowiemy na nim, jak wyglądają kolejne etapy olimpiady i przedstawimy kilka zadań ze wcześniejszych edycji zawodów. Kilka ostatnich minut poświęcimy pytaniom słuchaczy.

Stoisko "Kolorowa matematyka" prezentuje w formie zagadek logicznych, kolorowanek i zabaw ruchowych całkiem poważne zagadnienia matematyczne:

1) Twierdzenie o czterech barwach, które mówi, że każdą mapę można tak pokolorować czterema barwami, że sąsiednie państwa są różnych kolorów.

2) Wstęgę Mobiusa, czyli kartkę papieru, która ma tylko jedną stronę (i kilka innych zdumiewających cech).

3) Problem komiwojażera, czyli zaskakująco trudne zadanie znalezienia najkrótszej drogi odwiedzającej zadane punkty na mapie.

4) Wieże Hanoi, czyli układankę, w której chodzi o to, żeby ją ułożyć, robiąc jak najmniej ruchów.

W poszukiwaniu form wyrazu myśli naukowej i popularnonaukowej dotarliśmy do filmów wykonywanych metodą poklatkową. Jako budulec scenografii posłużyły klocki LEGO©. Aktorami są figurki produkcji tej samej firmy, tzw. “Minifigs”. Dwoją się one i troją na ekranie, aby - poza sprawieniem przyjemności widzowi z samego oglądania żartobliwej animacji - przekazać jakąś ciekawostkę naukową. Tymczasem na warsztacie są ciekawostki matematyczne, jako że matematyka jest nam najbliższa. Będzie można dowiedzieć się, jak paradoksalne wnioski można wyciągnąć z elementarnych nawet rozważań probabilistycznych (paradoksalne, jednak zgodne z eksperymentami), czy przekonać się, iż sprytne kodowanie problemu może umożliwić błyskawiczne rozwiązanie nawet złożonej zagadki. Poza prezentacją gotowych dzieł odsłonimy nieco kulisy ich powstawania.

Grafy stanowią pożyteczne narzędzie do modelowania rozmaitych problemów, od projektowania sieci komunikacyjnych i układów elektronicznych, przez wyszukiwanie tras w nawigacji samochodowej, do zastosowań w chemii, biologii, socjologii i sztucznej inteligencji. Na wykładzie skoncentruję się jednak raczej na bardziej rozrywkowych zastosowaniach:

Które figury dają się narysować bez odrywania ołówka od papieru? Jak przyspieszyć odgadywanie zapomnianego PINu do cyfrowego zamka? Jak rozwiązać problem Wież z Hanoi bez użycia rekursji? Na wykładzie opowiem o tych i innych zastosowaniach cykli Eulera i Hamiltona w grafach w szeroko rozumianej matematyce rekreacyjnej.

Na zajęciach rozważymy zagadnienie trzech ciał, zasymulowane w programie Wolfram Mathematica. Na początku uczestnicy warsztatów zapoznają się z podstawową obsługą pakietu. Następie zostanie przedstawiona fikcyjna sytuacja, w której do Ziemi zbliża się asteroida. Uczestnicy zostaną poproszeni o przedstawienie możliwych rozwiązań danej sytuacji (np. wystrzelenie pocisku w kierunku obiektu). Następnie zostaną poinformowani, które z ich odpowiedzi zostały zaimplementowane, i poproszeni o dobór odpowiednich parametrów rozwiązania, tak by uratować Ziemię.  Podczas trwania zajęć uczestnicy będą poruszać się po specjalnie przygotowanej prezentacji, w której możliwe będzie dobieranie owych odpowiednich parametrów. Zostanie również przeprowadzona dyskusja na temat tego, na ile takie rozwiązanie jest realne (np. czy jest możliwe stworzenie bomby o danej mocy i wzniesienie jej w kierunku asteroidy). Podsumowaniem będzie pokazanie implementacji stworzonego programu, jak również zapoznanie uczestników, czym dokładniej zajmuje się modelowanie matematyczne.

Spotkanie poświęcone programowaniu współczesnych wieloprocesorowych komputerów. Pokażemy, jak z wykorzystaniem współczesnych narzędzi można prosto i efektywnie tworzyć aplikacje na superkomputery.

Programowanie takich systemów rzeczywiście nie jest łatwe, jednak współcześni informatycy mają coraz więcej narzędzi pozwalających  na proste i efektywne programowanie dużych, wieloprocesorowych komputerów. Jest to o tyle ważne, że wzrost szybkości komputerów jest możliwy tylko dzięki zastosowaniu wielu procesorów, co widzimy już w komputerach osobistych, laptopach czy telefonach komórkowych.

Historia modelu Lotki-Volterry i wyjaśnienie tajemnicy, jak I wojna światowa wpłynęła na zwiększenie procentu dużych drapieżnych ryb w Adriatyku. Model Lotki-Volterry jest przykładem prostego układu równań, który wyjaśnia zjawiska niewyjaśnialne bez matematyki.