Od nieskończenie wielu liczb do nieskończenie wielu światów. O nierozstrzygalności w teorii zbiorów

Wbrew temu, czego niektórzy uczniowie mogą "dowiedzieć się" z lekcji matematyki szkolnej, nieskończoności jak najbardziej można ze sobą porównywać. Służy do tego pojęcie równoliczności. Wiadomo np., że zbiór liczb rzeczywistych R nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N -  tych drugich jest "mniej". Gdy w 1900 roku David Hilbert ogłaszał listę swoich słynnych problemów otwartych, pierwsze miejsce zajmowało na niej pytanie, czy istnieje jakikolwiek "rozmiar" nieskończoności pośredni między rozmiarem N a R. Teza, że odpowiedź na to pytanie jest negatywna nazywana jest Hipotezą Continuum (CH). Próby rozwiązania tego problemu doprowadziły do bujnego rozwoju teorii zbiorów, a ścisła odpowiedź do dziś jest źródłem sporów o pojęcie nieskończoności, prawdy i uniwersum matematycznych obiektów. Kurt Goedel udowodnił w 1938 r., że o ile powszechnie przyjęte aksjomaty matematyki nie prowadzą do sprzeczności, to posługując się wyłącznie nimi, nie da się udowodnić, że CH jest fałszywa. W 1963 r. Paul Cohen wykazał, że korzystając z powszechnie przyjętych aksjomatów matematyki (o ile są niesprzeczne), nie da się także wykazać, że CH jest prawdziwa. Obydwa wyniki wymagały wynalezienia zaawansowanych pojęć teorii mnogości, z których matematycy korzystają do dziś - chodzi o tzw. uniwersum konstruowalne oraz metodę forcingu. Znalazły one liczne zastosowania w badaniach nad podstawami matematyki, pozwalając m.in. na konstruowanie bardzo różnych i nawzajem niewspółmiernych "wszechświatów matematycznych", w których obowiązują z pozoru sprzeczne "prawa" matematyki. W czasie spotkania spróbujemy przybliżyć podstawy metod konstrukcji takich różnych matematycznych "światów", zwracając uwagę na to, do jakich debat w logice i filozofii matematyki doprowadziła np. metoda forcingu.