Nauki matematyczne

Celem wykładu jest pokazanie, jak ważne jest to, że w pewnych krzywych opisujących funkcjonowanie organizmów żywych pojawiają się punkty przegięcia. Opisana zostanie sytuacja, gdy się nie pojawiają i gdy się pojawiają, i wskazana zostanie waga tego dla istnienia życia. Wiele było bon motów określających, czym jest życie. Moja propozycja to ,,życie to punkty przegięcia lub ich brak, w zależności od sytuacji''.

Postaram się w swoim wykladzie omówić podstawowe prawa elektromagnetyzmu, używając pojęć analizy matematycznej, które postaram się (w kontekście elektromagnetyzmu)

przybliżyć tak, aby uczeń liceum mógł mieć wrażenie, że widzi, jaka matematyka kryje się za prawem Gaussa, prawem Faradaya czy prawem Ampere'a. I żeby ewentualnie zrozumiał, czego musi się jeszcze nauczyć, aby elektromagnetyzm rozumieć w sposób satysfakcjonujący matematycznie. Na deser wyjaśnimy matematycznie, jak działają pewne obiekty, takie jak kondensator czy układy RLC. Zakończę wykład, omawiając ideę MAGLEV, czyli pociagów magnetycznych, które po krótkim rozpędzie lewitują i w ten sposób przenoszą pasaów. Takie pociągi funkcjonują chociażby w Japonii i Chinach.

W matematyce używamy metody aksjomatycznej, to znaczy przyjmujemy pewne założenia wyjściowe, zwane aksjomatami, i zgodnie z pewnymi przyjętymi regułami rozumowania wyprowadzamy z nich wnioski. Dlatego fundamentalne jest zagadnienie, jakie tezy matematyczne wynikają z jakich aksjomatów. Szczególnym przypadkiem tego zagadnienia było na przykład rozważane przez wiele wieków pytanie, czy tak zwany piąty postulat Euklidesa wynika z pozostałych aksjomatów jego geometrii. Ostatecznie okazało się, że nie, co doprowadziło do powstania geometrii nieeuklidesowych.

Jak uzasadnić, że jakieś twierdzenie T wynika z danego zbioru aksjomatów A? Co do zasady jest to proste: można po prostu udowodnić T, przyjmując A jako założenia. Jak natomiast pokazać, że T nie wynika z A? Zwykle robi się to, konstruując strukturę matematyczną spełniającą wszystkie aksjomaty A – coś takiego nazywamy modelem dla A – w której twierdzenie T nie jest prawdziwe. To prowadzi do pytania, czy możliwa byłaby niepokojąca sytuacja pośrednia, w której ani nie da się udowodnić T za pomocą A, ani nie da się zbudować modelu dla A, w którym T nie zachodzi.

Otóż jeśli dobrze zdefiniujemy pojęcie aksjomatu i reguły rozumowania, to taka sytuacja jest niemożliwa. Mówi o tym tak zwane twierdzenie o pełności: każdy system aksjomatów, za którego pomocą nie da się udowodnić sprzeczności, ma model. Łatwo z tego wynika, że jeśli z A nie da się udowodnić T, to istnieje model dla A, który zarazem nie jest modelem dla T. Na wykładzie spróbujemy wyjaśnić znaczenie twierdzenia o pełności i opowiedzieć o tym, jak się go dowodzi.