O podziałach na orbity

Rozważać będziemy kolorowania brył i figur geometrycznych, a kolorować będziemy ich wierzchołki, krawędzie lub ściany. Każde takie kolorowanie można utożsamić z funkcją przypisującą każdemu z wierzchołków lub każdej z krawędzi czy ścian element pewnego zbioru kolorów K. Przy takiej definicji trzeba przyjąć, że dwa kolorowania nie są identyczne, innymi słowy – są różne, jeśli pewna ściana, krawędź czy wierzchołek ulegnie pokolorowaniu na inny kolor w jednym kolorowaniu niż w drugim. Liczbę tak rozumianych kolorowań łatwo można policzyć, korzystając z wiedzy szkolnej, ale tak postawiony problem jest mało praktyczny. My jednak przyglądać będziemy się liczbie nie różnych, a rozróżnialnych kolorowań. Za pokolorowane w sposób nierozróżnialny uznamy figury lub bryły, jeśli można jedną z nich przekształcić, na przykład przez pewien obrót, w taki sposób, żeby po tym przekształceniu zobaczyć identyczne kolorowanie jak drugiej. Liczba rozróżnialnych w tym sensie kolorowań jest trudniejsza do znalezienia. Powiemy o kluczowym dla tego problemu pojęciu grupy przekształceń i działaniu tej grupy na zbiorze obiektów podlegających kolorowaniu. Dowiemy się, czym przy działaniu grupy na zbiorze są orbity i dlaczego tworzą one podział interesującego nas zbioru. Przyjrzymy się, dlaczego wskazanie odpowiedniej grupy przekształceń jest konieczne dla ścisłego sformułowania naszego problemu i dlaczego grupa przekształceń, a co za tym idzie i liczba kolorowań, może być inna, gdy rozważamy dziecięcą kolorowankę na papierze, a inna, gdy projekt witraża. Sformułujemy również kluczowe dwa twierdzenia w tej teorii: Twierdzenie Pólyi i prowadzący do niego Lemat Burnside'a, które powiedzą nam, jak liczba orbit wpływa na liczbę kolorowań. Jeżeli czas pozwoli, naszkicujemy dowody tych twierdzeń.