Nauki matematyczne

W czasie zajęć pokazane zostaną przykłady "twierdzeń", które są prawdziwe dla małych liczb naturalnych, ale nie są prawdziwe w ogólności. Uzmysłowi to nam, że matematyka nie może obyć się bez dowodów.

Przedstawimy protokół BB84, czyli wymyślony w 1984 roku przez Charlesa Bennetta i Gilles’a Brassarda, protokół kwantowej dystrybucji klucza kryptograficznego. Jest on bezpieczny, gdyż jego działanie opiera się na fundamentalnych zasadach mechaniki kwantowej, dzięki którym próba podsłuchu jest łatwa do wykrycia. Choć protokół bazuje na nieprostej teorii mechaniki kwantowej, to od strony matematycznej jest dość łatwy do zrozumienia na gruncie elementarnego rachunku prawdopodobieństwa.

Opowiem o czterystuletniej historii hipotezy Keplera, która mówi, jakie jest optymalne (najgęstsze) upakowanie jednakowych kul w przestrzeni trójwymiarowej. Początek tej historii sięga epoki wielkich odkryć geograficznych i wypraw sir Williama Rayleigha, którego asystent - Thomas Harriot, matematyk, astronom i etnograf – układał tabele, podające liczby kul armatnich w stosach o kwadratowej podstawie. W samej końcówce XX wieku, po wcześniejszych nieudanych próbach wielu różnych osób, hipotezę Keplera udowodnił Thomas Hales, matematyk z Uniwersytetu w Pittsburghu. Jego dowód wymaga wprawdzie użycia komputera do obliczeń (jakich - o tym powiem kilka słów), niemniej, został opublikowany w Annals of Mathematics i jest ogólnie akceptowany przez matematyków.

Wyobraźmy sobie odcinek i dwa kąty z tej samej strony tego odcinka. Jeśli ich suma jest mniejsza niż 180 stopni, to zaczynające się w nich półproste przetną się, tworząc trójkąt. Tylko czy można to udowodnić, korzystając jedynie z prostszych własności geometrii? Euklidesowi się to nie udało i musiał przyjąć to stwierdzenie bez dowodu, jako "piąty postulat" swojej geometrii. Nie udało się też wielu innym matematykom praktycznie aż do XIX wieku, w którym pokazano, że może istnieć geometria, w której ten fakt nie zachodzi.

Na pokazie poznamy właśnie taką geometrię. Zobaczymy trójkaty o kątach sumujących się do mniej niż 180 stopni, o których nie mówi się w szkole. Pokażemy, że pole koła może być DUŻO, DUŻO większe niż πr²: nieskończoność, którą można zobaczyć latwiej, niż się wydaje. Dowiemy się, jak taki świat można zaprezentować na rysunkach, w symulacjach komputerowych oraz w modelach rzeczywistych.

Po wykładzie uczestnicy będą mogli zwiedzić światy oparte na geometriach nieeuklidesowych przy użyciu Wirtualnej Rzeczywistości. Będziemy podróżować poprzez portale łączące różne geometrie.

Użytkowanie sprzętu wiąże się z wykonywaniem ruchu, oddziałuje na nasz błędnik, zmysł orientacji, zmysł wzroku oraz słuchu, dlatego ze względów bezpieczeństwa nie jest zalecane dla osób w ciąży, osób starszych, mających problemy z sercem, osób, u których w przeszłości odnotowano drgawki, utratę świadomości lub inne podobne stany epileptyczne.

W bestsellerze „Pi razy okoˮ Matt Parker opisuje zaskakujące - czasem zabawne, a niekiedy również groźne - błędy i pomyłki wynikłe z nieumiejętnego lub niestarannego stosowania metod i pojęć matematycznych. Omówimy niektóre z nich.

Bywa, że i sama matematyka postrzegana jest jako źródło zagrożeń - matematyków (i używających metod matematycznych fizyków) próbowano na przykład obciążyć winą za wywołanie światowego kryzysu finansowego w 2008 roku. Zastanowimy się, czy głoszony przez Stefana Banacha pogląd, że matematyka jest zbyt ostrym narzędziem, by dawać je do ręki dzieciom, powinien dotyczyć jedynie dzieci.