Twierdzenie Banacha i mapy

Weźmy mapę Polski i połóżmy ją na ziemi, dbając o to, żeby nie wystawała poza granice kraju. Wtedy pewien punkt Polski i odpowiadający mu punkt na mapie leżą w tym samym miejscu!

Opisana sytuacja to ilustracja do twierdzenia Banacha o przekształceniu zwężającym, czyli takim, które zbliża do siebie punkty. Zgodnie z tym twierdzeniem przekształcenie zwężające musi mieć punkt stały - taki, który przez to przekształcenie nie jest ruszany z miejsca. Dlaczego? Jak go znaleźć? Czy takich punktów może być kilka? Do czego taki punkt może się przydać? O tym wszystkim opowiem na wykładzie.