Nauki matematyczne
Typ | Tytuł | Opis | Dziedzina | Termin |
---|---|---|---|---|
Spotkanie festiwalowe | Co i jak testują (matematyczni) statystycy? |
O matematyce często mówi się (między innymi) jako o języku nauk przyrodniczych. W tym kontekście jako język nauk opartych na eksperymencie należy wyróżnić statystykę matematyczną. Podczas wykładu chciałbym odrobinę przybliżyć ów język, ze szczególnym akcentem na tzw. testowanie hipotez statystycznych. Jest to metodologia stosowana w bardzo szerokim wachlarzu sytuacji – od próby odkrycia nowej cząstki elementarnej, przez ocenę skuteczności nowo wprowadzonego leku, aż po badania mające rozstrzygnąć, która płeć lepiej sobie radzi z parkowaniem samochodu. Mam zamiar zwrócić uwagę na kilka subtelności tego języka, przestrzegając przed pewnymi błędami interpretacyjnymi. Na poziomie istotności 0,01% odrzucam hipotezę badawczą, zgodnie z którą szansa na wyniesienie czegoś wartościowego z tego wykładu jest mniejsza od 99% – w szczególności dowiecie się na nim, co tak właściwie oznacza to pokrętne zdanie. Serdecznie zapraszam! |
Nauki matematyczne |
|
Spotkanie festiwalowe | Od nieskończenie wielu liczb do nieskończenie wielu światów. O nierozstrzygalności w teorii zbiorów |
Wbrew temu, czego niektórzy uczniowie mogą "dowiedzieć się" z lekcji matematyki szkolnej, nieskończoności jak najbardziej można ze sobą porównywać. Służy do tego pojęcie równoliczności. Wiadomo np., że zbiór liczb rzeczywistych R nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N - tych drugich jest "mniej". Gdy w 1900 roku David Hilbert ogłaszał listę swoich słynnych problemów otwartych, pierwsze miejsce zajmowało na niej pytanie, czy istnieje jakikolwiek "rozmiar" nieskończoności pośredni między rozmiarem N a R. Teza, że odpowiedź na to pytanie jest negatywna nazywana jest Hipotezą Continuum (CH). Próby rozwiązania tego problemu doprowadziły do bujnego rozwoju teorii zbiorów, a ścisła odpowiedź do dziś jest źródłem sporów o pojęcie nieskończoności, prawdy i uniwersum matematycznych obiektów. Kurt Goedel udowodnił w 1938 r., że o ile powszechnie przyjęte aksjomaty matematyki nie prowadzą do sprzeczności, to posługując się wyłącznie nimi, nie da się udowodnić, że CH jest fałszywa. W 1963 r. Paul Cohen wykazał, że korzystając z powszechnie przyjętych aksjomatów matematyki (o ile są niesprzeczne), nie da się także wykazać, że CH jest prawdziwa. Obydwa wyniki wymagały wynalezienia zaawansowanych pojęć teorii mnogości, z których matematycy korzystają do dziś - chodzi o tzw. uniwersum konstruowalne oraz metodę forcingu. Znalazły one liczne zastosowania w badaniach nad podstawami matematyki, pozwalając m.in. na konstruowanie bardzo różnych i nawzajem niewspółmiernych "wszechświatów matematycznych", w których obowiązują z pozoru sprzeczne "prawa" matematyki. W czasie spotkania spróbujemy przybliżyć podstawy metod konstrukcji takich różnych matematycznych "światów", zwracając uwagę na to, do jakich debat w logice i filozofii matematyki doprowadziła np. metoda forcingu. |
Nauki matematyczne |
|
Spotkanie festiwalowe | Twierdzenie o pełności, czyli dlaczego każdy niesprzeczny system aksjomatów ma model |
W matematyce używamy metody aksjomatycznej, to znaczy przyjmujemy pewne założenia wyjściowe, zwane aksjomatami, i zgodnie z pewnymi przyjętymi regułami rozumowania wyprowadzamy z nich wnioski. Dlatego fundamentalne jest zagadnienie, jakie tezy matematyczne wynikają z jakich aksjomatów. Szczególnym przypadkiem tego zagadnienia było na przykład rozważane przez wiele wieków pytanie, czy tak zwany piąty postulat Euklidesa wynika z pozostałych aksjomatów jego geometrii. Ostatecznie okazało się, że nie, co doprowadziło do powstania geometrii nieeuklidesowych. Jak uzasadnić, że jakieś twierdzenie T wynika z danego zbioru aksjomatów A? Co do zasady jest to proste: można po prostu udowodnić T, przyjmując A jako założenia. Jak natomiast pokazać, że T nie wynika z A? Zwykle robi się to, konstruując strukturę matematyczną spełniającą wszystkie aksjomaty A – coś takiego nazywamy modelem dla A – w której twierdzenie T nie jest prawdziwe. To prowadzi do pytania, czy możliwa byłaby niepokojąca sytuacja pośrednia, w której ani nie da się udowodnić T za pomocą A, ani nie da się zbudować modelu dla A, w którym T nie zachodzi. Otóż jeśli dobrze zdefiniujemy pojęcie aksjomatu i reguły rozumowania, to taka sytuacja jest niemożliwa. Mówi o tym tak zwane twierdzenie o pełności: każdy system aksjomatów, za którego pomocą nie da się udowodnić sprzeczności, ma model. Łatwo z tego wynika, że jeśli z A nie da się udowodnić T, to istnieje model dla A, który zarazem nie jest modelem dla T. Na wykładzie spróbujemy wyjaśnić znaczenie twierdzenia o pełności i opowiedzieć o tym, jak się go dowodzi. |
Nauki matematyczne |
|
Spotkanie festiwalowe | Jak i po co modelować pandemię COVID-19? |
Postaram się odpowiedzieć na następujące pytania: jak informatycy i matematycy mogą pomóc epidemiologom w trudnej sytuacji pandemii? czym jest matematyczny model epidemii? czy modelowanie pozwala przewidzieć to, co się wydarzy w przyszłości? dlaczego dla dynamiki epidemii bardzo ważna jest strategia testowania? jak możemy wpływać na rozprzestrzenianie się choroby, ograniczając współczynnik reprodukcji wirusa? |
Nauki matematyczne |
|
Spotkanie festiwalowe | Testy grupowe |
Wyobraźmy sobie, że chcemy testować grupę ludzi pod kątem występowania jakiejś choroby, np. wirusa. Idea testów grupowych polega na prostej obserwacji, że możemy mieszać próbki pobrane od kilku osób i poddać mieszankę pojedynczemu testowi. Powstaje pytanie: jak dużo takich testów trzeba wykonać, by ustalić zbiór wszystkich zakażonych osób? Omówię różne podejścia do tego problemu. |
Nauki matematyczne |
|
Spotkanie festiwalowe | Elektromagnetyzm matematycznie. Rzecz o latających pociągach |
Postaram się w swoim wykladzie omówić podstawowe prawa elektromagnetyzmu, używając pojęć analizy matematycznej, które postaram się (w kontekście elektromagnetyzmu) przybliżyć tak, aby uczeń liceum mógł mieć wrażenie, że widzi, jaka matematyka kryje się za prawem Gaussa, prawem Faradaya czy prawem Ampere'a. I żeby ewentualnie zrozumiał, czego musi się jeszcze nauczyć, aby elektromagnetyzm rozumieć w sposób satysfakcjonujący matematycznie. Na deser wyjaśnimy matematycznie, jak działają pewne obiekty, takie jak kondensator czy układy RLC. Zakończę wykład, omawiając ideę MAGLEV, czyli pociagów magnetycznych, które po krótkim rozpędzie lewitują i w ten sposób przenoszą pasaów. Takie pociągi funkcjonują chociażby w Japonii i Chinach. |
Nauki matematyczne |
|
Spotkanie festiwalowe | Arytmetyka Tarskiego |
Alfred Tarski udowodnił, w latach dwudziestych XX wieku, że istnieje algorytm, który odpowiada na wszystkie pytania dotyczące liczb rzeczywistych, jakie da się wyrazić za pomocą mnożenia, dodawania i kwantyfikatorów. Przykładem takiego pytania jest: czy istnieje wielomian kwadratowy, który ma 3 miejsca zerowe? Odpowiedź (w tym przypadku przeczącą) na to i inne pytania dostaniemy automatycznie po uruchomieniu algorytmu Tarskiego. W swoim wystąpieniu chciałbym algorytm ten opisać. |
Nauki matematyczne |
|
Spotkanie festiwalowe | Nieskończoność nieskończoności |
Wiadomo, że jeśli w hotelu każde miejsce jest zajęte, to nie da się przyjąć nowego gościa. Okazuje się jednak, że nie jest to prawda, jeśli ten hotel jest nieskończony. Ma to związek z pojęciem równoliczności zbiorów, które będziemy rozważać. Zastanowimy się w szczególności, czy wszystkie nieskończone zbiory są równoliczne. A może niektóre są większe od innych? Szczególną uwagę zwrócimy na zbiory liczbowe — czy liczb naturalnych jest ,,tyle samo'' co wymiernych lub rzeczywistych? Sformułujemy problem słynnej hipotezy continuum, a na koniec zobaczymy nieskończenie wiele nieskończoności. |
Nauki matematyczne |
|
Spotkanie festiwalowe | Punkty przegięcia i życie |
Celem wykładu jest pokazanie, jak ważne jest to, że w pewnych krzywych opisujących funkcjonowanie organizmów żywych pojawiają się punkty przegięcia. Opisana zostanie sytuacja, gdy się nie pojawiają i gdy się pojawiają, i wskazana zostanie waga tego dla istnienia życia. Wiele było bon motów określających, czym jest życie. Moja propozycja to ,,życie to punkty przegięcia lub ich brak, w zależności od sytuacji''. |
Nauki matematyczne |
|